鸡蛋掉落 [Link]

Leetcode 4月每日一题合集

涉及知识点：动态规划

1. 题目描述

你将获得 K 个鸡蛋，并可以使用一栋从 1 到 N 共有 N 层楼的建筑。

每个蛋的功能都是一样的，如果一个蛋碎了，你就不能再把它掉下去。

你知道存在楼层 F ，满足 0 <= F <= N 任何从高于 F 的楼层落下的鸡蛋都会碎，从 F 楼层或比它低的楼层落下的鸡蛋都不会破。

每次移动，你可以取一个鸡蛋（如果你有完整的鸡蛋）并把它从任一楼层 X 扔下（满足 1 <= X <= N）。

你的目标是确切地知道 F 的值是多少。

无论 F 的初始值如何，你确定 F 的值的最小移动次数是多少？

提示：

1 <= K <= 100
1 <= N <= 10000

示例 1：

输入：K = 1, N = 2
输出：2
解释：
鸡蛋从 1 楼掉落。如果它碎了，我们肯定知道 F = 0 。
否则，鸡蛋从 2 楼掉落。如果它碎了，我们肯定知道 F = 1 。
如果它没碎，那么我们肯定知道 F = 2 。
因此，在最坏的情况下我们需要移动 2 次以确定 F 是多少。

示例 2：

输入：K = 2, N = 6
输出：3

示例 3：

输入：K = 3, N = 14
输出：4

2. 题解一

2.1 题解与思路

题解一参考了 Bilibili @李永乐老师官方的一期视频双蛋问题，李老师讲解的非常细致，很值得学习。

我下面整理一下主要思路，采用的是 动态规划 的算法，定义 “$K$个鸡蛋，$N$层楼” 的解为 $F(K,N)$, 考虑最小子问题：

当 $N=1$ 时，一层楼，只要试一次，$F(K, 1)=1$
当 $K=1$ 时，只有一个鸡蛋，只能从一楼开始一层层试，$F(1, N)=N$

再考虑状态转移方程，对于问题 $F(K,N)$，考虑：

在 $1~N$ 层中间某层 $t$ 层去丢鸡蛋尝试，有两种情况：
- 鸡蛋碎了，那要到 $1~t-1$ 层去尝试，问题转换为 $F(K-1,t-1)$
- 鸡蛋没碎，那要到 $t+1~N$ 层去尝试，问题转换为 $F(K,N-t)$
那如何确定 $t$ 呢，只需要让 $t$ 在 $1~N$ 遍历，取最小的即可，所以状态转移方程为：$F(K,N)=1 + \min_{1\leqslant t \leqslant N}(max(F(K-1,t-1),F(K,N-t)))$

考虑到 $F(K,N)$ 是个关于 $N$ 的单调递增函数，也就是说在鸡蛋数 $K$ 固定的情况下，楼层数 $N$ 越多，需要的步数一定不会变少。而在状态转移方程中，$F(K-1,t-1)$ 是关于 $t$ 的单调递增函数，$F(K,N-t)$ 是关于 $t$ 的单调递减函数。我们要找的点是它们的最大值的最小点，如下图的红点（T1代表$F(K-1,t-1)$，T2代表$F(K,N-t)$）：
二分法示意图

为了找到这个红点，可以采用二分法来找，当 mid 点 $F(K-1,mid-1)>F(K,N-mid)$ 时，向左找，否则向右找。

这个算法，时间复杂度为 $O(KNlogN)$，但还是运行超时了。

2.2 代码

本解法 Python 代码如下

class Solution(object):
    def superEggDrop(self, K, N):
        """
        :type K: int
        :type N: int
        :rtype: int
        """
        res = [[0 for _ in range(K+1)] for _ in range(N+1)]
        for i in range(1, K+1):
            res[1][i] = 1
        for i in range(1, N+1):
            res[i][1] = i

        for i in range(2, N+1):
            for j in range(2, K+1):
                left, right = 1, i
                while left < right:
                    mid = (left + right + 1) // 2
                    n_break = res[mid-1][j-1]
                    n_unbreak = res[i-mid][j]
                    if n_break > n_unbreak:
                        right = mid - 1
                    else:
                        left = mid
                res[i][j] = max(res[left-1][j-1], res[i-left][j]) + 1

        return res[-1][-1]

3. 题解二

3.1 题解与思路

题解二的方法很不常见，我参考了官方的题解的方法三。

3.2 代码